مفارقة برتراند راسل

 

مفارقة راسل هي واحدة من أهم المفارقات في نظرية المجموعات ، قدمها عالم الرياضيات والفيلسوف الإنجليزي برتراند راسل في عام 1901.

توضح هذه المفارقة أن النظرية الطبيعية لمجموعات فريج ، المستندة إلى أعمال جورج كونتور ، مؤسس نظرية المجموعات ، لها تناقضات داخل نفسها.

مناقشة غير رسمية

في النظرية الطبيعية للمجموعات ، يوجد مبدآن رئيسيان للموضوع ، وهما مبدأ موضوع التوسع ومبدأ موضوع التجريد البديهي.

ينص المبدأ الحدسي للتجريد على أنه إذا كانت phi (x) عبارة عن اقتراح حول المتغير الحر x ، فعندئذٍ:

{x: phi (x)}

هي مجموعة. بمعنى آخر ، المقابلة لأي اقتراح (خاصية) مثل phi (x) ، هناك مجموعة تحتوي بالضبط على العناصر التي تنطبق على phi (x). وبالتالي فإن هذا المبدأ يسمح لنا بالحصول على مجموعة من خلال أي سمة مرغوبة.

أظهر برتراند راسل من خلال مفارقة راسل أن اعتبار هذا المبدأ في النظرية الطبيعية للمجموعات متناقض ، وبالتالي فإن النظرية الطبيعية لمجموعات جورج كونتور هي نظرية غير متوافقة وتحتاج إلى إعادة النظر فيها.

أبطل راسل الافتراض القائل بأنه يمكن تعريف المجموعات بحرية وبدون أي قيود من خلال توفير مجموعة من جميع المجموعات غير الأعضاء. تم تقديم هذه المجموعة من قبل برتراند راسل والتناقض الناتج عنها هو مفارقة راسل.

ضع في اعتبارك اقتراح phi (x): xnot في x للمجموعات. في هذه الحالة ، وفقًا لمبدأ التجريد البديهي

{x: xnot في x}

هي مجموعة تشمل جميع المجموعات التي ليست أعضاءً في ملكيتها.

افترض أن R هي "مجموعة كل المجموعات التي ليست من أعضائها". هذا يعني:

R = {x: xnot في x

لذا فإن A عضو في R إذا وفقط إذا لم يكن A عضوًا في A. هذا يعني:

فورال أ (عين ريف أنوت في أ)

لا شيء في نظرية مجموعات Contour و Frege يمنع تعريف مثل هذه المجموعة ، ومن المفترض أن يكون تعريفها المحدد جيدًا واضحًا.

تنشأ المشكلة عندما ننظر إلى المجموعة R نفسها كمجموعة مقبولة ونسأل السؤال حول R ، سواء كانت R عضوًا في نفسها أم لا.

إذا أجبنا بنعم ، إذن Rin R وبالتالي من خلال تعريف المجموعة R يجب أن يكون لدينا Rnot في R وهو تناقض.
إذا كانت الإجابة لا ، إذن Rnot في R وبالتالي بالتعريف R يجب أن يكون لدينا Rin R وهو أيضًا تناقض.
كانت مفارقة راسل هي العامل الأول في تحفيز علماء الرياضيات لجعل مبدأ نظرية المجموعات موضوعيًا.

لقد حاولوا تأسيس نظرية المجموعات على مبادئ أقوى وأكثر تعقيدًا من مبدأ التوسع لتجنب تعريف مثل هذه المجموعات. أدت هذه المفارقة إلى قيام راسل بتطوير نظرية الأنواع قدر الإمكان ، وقام إرنست تسيرميلو بتطوير نظرية المبدأ الموضوعي للمجموعات ، مما أدى إلى ظهور نظرية مجموعات Tsermello-Frankil ومجموعات أخرى من الأنظمة الموضوعية. يوضح أنه حتى ذلك الحين ، كان وجودها أمرًا مفروغًا منه ، فهو غير موجود.
التعبير الرسمي عن مفارقة راسل والتحليل المنطقي

في الواقع ، لا يتطلب تعبير آخر عن هذا التناقض في لغة المنطق سوى معلومات منطقية أساسية وتعريف مجموعات مجردة. يمكن تعيين استخدام رمز المجمع الموجود في النظرية الطبيعية للمجموعات

R = {x: xnot في x

معرف ، في هذه الحالة:

forall x (xin Riff xnot in x)

الآن باستبدال R بـ x لدينا:

رين ريف Rnot في R

وهو تناقض (في المنطق الرياضي ، يكون تناقض قضية ما غير صحيح دائمًا). لا يمكن حل هذا التناقض عن طريق إجراء استثناءات لقيم x لأن لدينا العديد منها.

التاريخ الدقيق لاكتشاف راسل
لهذه المفارقة غير معروف ، ولكن يبدو أنه في مايو أو يونيو 1901 ، وربما نتيجة لعمله على نظرية الكنتور (العدد الأصلي لكل مجموعة أقل من الرقم الأصلي هذا التناقض قد تحقق.

صاغ المفارقة لأول مرة في عام 1901 في مقال نشر في المجلة الشهرية الدولية بعنوان "أحدث عمل في فلسفة الرياضيات".
كما طرح حجة كانتور القائلة بعدم وجود أكبر عدد أولي ، مضيفًا أن "السيد" هو المسؤول عن مغالطة ذكية ، والتي سيشرحها لاحقًا.
أشار راسل أيضًا إلى التناقض في كتابه مبادئ الرياضيات - الذي لا ينبغي الخلط بينه وبين كتابه السابق Principia Mathematica - والذي أسماه "التناقض". مرة أخرى ، ذكر أنه حصل على هذه المفارقة من خلال تحليل حجة كانتور لإثبات عدم وجود أكبر عدد أولي.

في عام 1902 ، شارك راسل هذه المفارقة مع فريجه ، الذي كان يكتب المجلد الثاني من كتابه ، Grundgesetze der Arithmetik.
كتب فريج على عجل في الملحق حلاً لهذه المفارقة ، والذي ثبت لاحقًا أنه غير كافٍ. ومع ذلك ، بعد نشر المجلد الثاني من الكتاب ، كتب فريج القليل عن المنطق الرياضي وفلسفة الرياضيات بعد نشر الجزء الثاني من كتابه.
أدرك إرنست تسارميلو هذه المفارقة أثناء عمله على نظرية المبدأ الموضوعي للمجموعات ، والتي نشرها عام 1908 ، لكنه اعتقد أنها كانت نقطة صغيرة وبالتالي لم ينشرها أبدًا. في نظامه الموضوعي المنهجي ، تجنب Tsarmloo هذه المفارقة باستخدام مبدأ موضوعي يسمى مبدأ المواصفات.

كتب راسل وألفريد نورث وايتهيد ثلاثة مجلدات من مبادئ الرياضيات على أمل النصر بينما فشل فريجه ، حيث حاول تجنب مثل هذه المفارقات في النظرية الطبيعية للمجموعات باستخدام نظرية الأنواع.

عندما نجحوا في إنشاء حساب ، لم يبدوا أنهم يستخدمون المنطق فقط. ومع ذلك ، فقد أثبت Kurt G ود ديل بين عامي 1930 و 1931 أن منطق أجزاء كثيرة من PM ، والتي تسمى الآن المنطق التمهيدي ، كانت مثالية ، لكن حساب البيانو كان بالضرورة غير مكتمل إذا كان متسقًا. لذا من الآن فصاعدًا ماتت برامج منطق Frege و PM.

أمثلة على التطبيقات

هناك أيضًا حالات أبسط من مفارقة راسل أقرب إلى أحداث الحياة وأكثر قابلية للفهم من غير العقلاني. مفارقة تصفيف الشعر ، على سبيل المثال ، هي مثال.

لنفترض أن مصفف الشعر يحلق فقط لحية الرجال الذين لا يحلقون أنفسهم.

بعبارة أكثر منطقية ، يحلق الرجال لحاهم فقط إذا لم يحلقوا لحاهم.

الآن بسؤال المصفف هل يحلق لحيته أم لا؟ المفارقة تبدأ (كيف؟).

ولكن هناك عيوب عندما نقدم هذه العبارات غير الرسمية والعامية للمفارقة. على سبيل المثال ، في الرد على مفارقة مصفف الشعر ، من السهل القول إن مثل هذا الحلاق لن يكون موجودًا. بيت القصيد من مفارقة راسل هو أن الإجابة "لا توجد مثل هذه المجموعة" تعني أن تعريف مجموعة بمساعدة رمز جامع بدون أي حدود ومعايير غير كافٍ وغير مرضٍ. بالطبع ، بعض الأمثلة على هذا التناقض لا تحتوي على هذه العيوب. مثال على ذلك هو مفارقة Grelling-Nelson ، حيث يتم استبدال الكلمات ومعانيها بالأفراد ومصففي الشعر.

من السهل تبديد مفارقة مصفف الشعر بإنكار وجود مثل هذا الحلاق ، لكن لا يمكن قول الشيء نفسه عن الكلمات والمعاني.

جواب نظرية المجموعات على التناقض

حاول راسل ، جنبًا إلى جنب مع ألفريد نورث وايتهيد ، تبديد التناقض من خلال تطوير نظرية التنوع. في غضون ذلك ، ظهرت تحديات أخرى في نظرية المجموعات.

في عام 1908 ، قدم إرنست تسيرميلو أداة موضوعية لنظرية المجموعات التي تجنبت مفارقات نظرية المجموعات. تم تعديل هذه المبادئ من قبل أبراهام فرانكيل ، وتورالف سكولم ، وتسيرميلو نفسه في عام 1920 ، وقاموا في النهاية بتطوير نظرية المبادئ الموضوعية للمجموعات ، والتي تسمى نظرية تريسميلو-فرانكل للمجموعات ، أو ZFC.

في ZFC ، يُفترض أن كل اقتراح لا يحدد مجموعة جميع الكائنات التي تحتوي عليها الخاصية ، ويتم استبداله بعبارة "لكل مجموعة X والعرض phi (x) ، هناك مجموعة فرعية من جميع العناصر من X "" التي لها خاصية phi. " بمعنى آخر ، بالنسبة للمجموعة X وعرض phi ، هناك مجموعة فرعية Y من X ذلك

forall x (xin Yiff xin Xland phi (x))

في هذه الحالة ، لن تكون مجموعة Russell R Impossible مجموعة ZFC صالحة ولن تكون قابلة للتحديد على الإطلاق.
لكن ZFC لم تكن مجرد نظرية للموضوع ، ولكن نظريات أخرى مثل نظرية مجموعة von Neumann-G ل del-Bernice (NGB) أو الأسس الجديدة ، لكل منها مبادئها الموضوعية وقيودها.